Calcular:
a) Integral[x*sen[x²+1]dx] (Integral indefinida)
b) Integral[sen³[x]cos³[x]dx, 0 a Pi]
c) Integral[x*sqrt[x²+1]dx, 0 a 1]
Para facilitar a notacao vamos adotar:
Integral[f(x)dx, de a a b] = $[a,b]f(x)dx
a) Trivial: (substituicao u=x²+1)
$x*sen[x²+1]dx = (subst u=x²+1 du=2xdx) $sen[u]du/2 = -cos[u]/2 = -cos[x²+1]/2
b) $[0,Pi]sen³[x]cos³[x]dx = $[0,Pi](sen[x]cos[x])³dx = $[0,Pi](sen[2x]/2)³dx = (subst u=2x du=2dx) $[0,Pi](sen[u]/2)³2dx = $[0,Pi]sen³[u]dx/4 = $[0,Pi]sen²[u]*sen[x]dx/4 = $[0,Pi](1-cos²[x])sen[u]dx/4 = (subst t=cos[u] dt=-sen[u]dx) -$[0,Pi](1-t²)dt/4 = -$[0,Pi]dt/4 + $[0,Pi]t²dt/4 = -t/4 + t³/12 |x=[0,Pi] = -cos[2x]/4 + cos³[2x]/12 |x=[0,Pi] = -cos[2Pi]/4 + cos³[2Pi]/12 +cos[0]/4 - cos³[0]/12 = -1/4 + 1/12 + 1/4 - 1/12 = 0
c) $x*sqrt[x+1]dx = (subst u=x+1 du=dx) $[0,1](u-1)sqrt[u]du = $[0,1]u*sqrt[u]du - $[0,1]sqrt[u]du = $[0,1]u^(3/2)du - $[0,1]u^(1/2)du = 2u^(5/2)/5 - 2u^(3/2)/3 |x=[1,0] = 2u^(5/2)/5 - 2u^(3/2)/3 |x=[1,0] = 2(x+1)^(5/2)/5 - 2(x+1)^(3/2)/3 |x=[1,0] = 2(2)^(5/2)/5 - 2(2)^(3/2)/3 - ( 2/5 - 2/3) = 8 sqrt[2]/5 - 4 sqrt[2]/3 - 2/5 + 2/3 = 4 sqrt[2]/15 + 4/15 = 4 (1+sqrt[2])/15
4.15: 9: f é contínua e derivável duas vezes num intervalo aberto (a,b), a reta unindo os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta f em (c,f(c)), a < c < b. Mostre que existe t tal que f''(t)=0
Dem.: f é contínua e derivável no intervalo, aplicando o TVM nos intervalos [a,c] e [c,b], temos que existem k1 e k2, tais que f'(k1)=(f(c)-f(a))/(b-a) e f'(k2)=(f(b)-f(c))/(b-c) mas f(a),f(b) e f(c) são colineares(fazem parte do segmento (a,f(a)), (b,f(b))), e logo f'(k1)=(f(c)-f(a))/(b-a)=(f(b)-f(c))/(b-c)=f'(k2).
Pelo teorema de Rolle, f'(k1)=f'(k2) => Existe t tal que f''(t)=0.
4.15: 10:
a) Mostre que g assume todos os valores entre f'(a) e g(b) no intervalo (a,b). Use o teorema do valor médio para mostrar que f' assume todos os valores entre f'(a) e g(b).
g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) se x!=a
= f'(a) se x=a
b) a mesma coisa mas com x=b
Dem.:
a) A funcao g dá o coeficiente angular da secante entre (a,f(a)) e (x,f(x))
f(x) é contínua, f(x)-f(a) é contínua e (f(x)-f(a))/(x-a) é contínua se x!=a, logo, g(x) é contínua para x!=a
g(x) é contínua em a, pois lim x->a+ g(x)=lim x->a+ (f(x)-f(a))/(x-a)=f'(a)=g(a) (pela def de derivada)
assim, g é contínua em (a,b), e pelo teorema do valor intermediário, se g(a)<y<g(b) existe x tal que g(x)=y, de modo que todo valor entre g(a)=f'(a) e g(b) serão percorridos.
b)Análogo.
